Tunjukkan bahawa 37 - a dibahagikan oleh 1729 untuk sebarang integer a : 

Pertama, 1729 = 7 × 13 × 19. 
Katakan b = a 37 - a . 
Akan menunjukkan bahawa 7 | b , 13 | b , dan 19 | b . 

Kemudian, kerana gcd (7 , 13) = 1, 
7 | b dan 13 | b bersama menyiratkan bahawa 7 × 13 | b 

Begitu juga, gcd (7 × 13 , 19) = 1, 
7 × 13 | b dan 19 | b bersama menyiratkan bahawa 7 × 13 × 19 = 1729 | b 

Oleh itu, ia tetap hanya untuk menunjukkan bahawa 7 | b , 13 | b , dan 19 | b : 
( i ) 7 | a : a = a ( a 36-1 ) = a ( a 12 - 1) ( a 24 + a 12 + 1) = a ( a 6-1 ) ( a 6 + 1) + 12 + 1) = ( a 7 - a ) k untuk beberapa integer k 

Oleh teorem kecil Fermat, 7 | a - 7 untuk sebarang integer a . 
Jadi 7 | b . 
( ii ) 13 | b : 5 

Seperti yang kita lihat di atas,   

b   =   a   (   a   12   -   1) (   a   24   +   a   12   + 1) = (   a   13   -   a   ) (   a   24   +   a   12   + 1). 

Oleh Fermat   teorem kecil, 

13   |   a   13   -   a   untuk sebarang integer   a   , supaya 13   |   b   .  (   iii   ) 19   |   b   :   b   =   a   37   -   a   =   a   (   a   36   -   1)   =   a   (   a   18   -   1) (   a   18   + 1)   =   (   a   19   -   a   ) (   a   18   + 1)   Oleh teorem kecil Fermat, 19   |   a   19   -   a   untuk sebarang integer   a   , jadi 19   |   b   .   Oleh itu, dengan hujah yang diberikan di atas, 1729   |   a   37   -   a   untuk sebarang integer   a   .   11. Cari sisanya yang tidak terkecuali apabila 3   99   dibahagikan dengan 5.   Kita tahu bahawa 3   2   = 9   ≡   (   -   1) mod 5.   Kemudian, dengan teorem 2 (   iv   ), halaman 61, 3   98   ≡   (3   2   )   49   ≡   (   -   1)   49   mod 5   ≡ -   1 mod 5. Jadi 3   99   ≡   3   ·   3   98   ≡   3   ·   (   -   1)   ≡ -   3   ≡   2 mod 5. Jadi,   sisanya tidak terkecuali apabila 3  99   dibahagikan dengan 5 adalah 2.   12. Cari sisanya yang tidak terkecuali apabila 2   510   dibahagikan dengan 511.   Pertama, 2   9   = 512   ≡   1 mod 511.   Jadi, sejak 510 = 9 (56) + 6, 2   510   ≡   (2   9   )   56   ·   2   6   ≡   2   6   ≡  64 mod 511, jadi sisanya tidak terkecuali apabila 2   510   dibahagikan dengan 511 adalah 64.   13. Cari sisanya yang tidak terkecil apabila 30   30   dibahagikan dengan 7.   Pertama 30   ≡   2 mod 7, jadi 30   30   ≡   2   30   mod 7.   Seterusnya, 2  3   ≡   1 mod 7, jadi 2   30   ≡   (2   3   )   10   ≡   1   10   ≡   1 mod 7. Oleh itu 1 adalah baki paling kecil terkecil apabila 30   30   dibahagikan dengan   7.   14. (2.1.1) Senaraikan tujuh orang ahli setiap kelas kesanggupan berikut:   (   i   ) [13]  9   : 4, 13, 22, 31, 40, -5, -14, dan lain-lain   6